Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，，其中，數(shù)列滿足：

（1）當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）證明：對(duì)任意均成立，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）是否存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，如果不存在，說明理由，如果存在，求出所有的.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）證明見解析，；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)計(jì)算得到，，，再根據(jù)與的關(guān)系，得到答案；（2）由條件可得，然后得到，兩式相減，從而進(jìn)行證明，并以根據(jù)所證的式子可得到的通項(xiàng)；（3）假設(shè)存在正數(shù)，由（2）可知，由，得到，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明滿足題意.

（1），所以，

時(shí)，時(shí)

時(shí)，

而

所以，，，；

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

所以

下式減上式，得，

整理得

即有，

所以，

，

所以；

（3）假設(shè)存在正數(shù)，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，

由（2）可知①，

由，，可得，

當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，利用，

結(jié)合①式，反復(fù)遞推，可知每一項(xiàng)均為整數(shù)，所以符合題意，

當(dāng)時(shí)，①式變?yōu)?/span>②

下用數(shù)學(xué)歸納法證明為偶數(shù)，為整數(shù)

時(shí)，結(jié)論顯然成立，

假設(shè)時(shí)，結(jié)論成立，此時(shí)為偶數(shù)，為整數(shù)，

故時(shí)，為偶數(shù)，為整數(shù)，

所以時(shí)，命題也成立.

所以數(shù)列為整數(shù)數(shù)列.此時(shí)滿足題意.

綜上所述，滿足題意的的取值集合為.