Question

3．已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式．
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，4]的值域．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＜0的解集是（0，5），可知f（x）圖象開口向上，對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，且f（0）=f（5）=0，f（x）在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12可得f（-1）=12，然后利用待定系數(shù)法列出方程組解出a，b，c；
（2）根據(jù)f（x）的對稱軸得出f（x）在[-1，4]上先減后增，求出最大值和最小值即可．

解答 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c
∵f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴a＞0且f（0）=f（5）=0，
∴f（x）的對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在[-1，4]上的最大值是12，
∴f（-1）=12．
即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{25a+5b=0}\\{a-b=12}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=-10，c=0
∴f（x）=2x²-10x．
（2）∵y=f（x）對稱軸為x=$\frac{5}{2}$，
∴f（x）在[-1，$\frac{5}{2}$]上單調(diào)遞減，在[$\frac{5}{2}$，4]上單調(diào)遞增
∴當x=$\frac{5}{2}$時，f（x）取最小值f（$\frac{5}{2}$）=$-\frac{25}{2}$，
單x=-1時，f（x）取最大值f（-1）=12．
∴f（x）值域為$[{-\frac{25}{2}，12}]$．

點評 本題考查了二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系，圖象的性質(zhì)及單調(diào)性，利用圖象的對稱性找到對稱軸是解題關(guān)鍵，屬于基礎題．