Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若曲線在處的切線方程為，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運用導數(shù)的幾何意義建立方程求解；（2）借助題設(shè)運用轉(zhuǎn)化化歸的思想進行轉(zhuǎn)化再運用導數(shù)知識求解；（3）依據(jù)題設(shè)先將問題進行轉(zhuǎn)化,再借助導數(shù)知識分類整合思想分類探求求解.

試題解析：

（1）由，得，

由題意，所以．

（2），

因為對任意兩個不等的正數(shù)，，都有，

設(shè)，則，即恒成立，

問題等價于函數(shù)，即在為增函數(shù)，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即實數(shù)的取值范圍是．

（3）不等式等價于，

整理得，

設(shè)，由題意知，在上存在一點，使得，

由，

因為，所以，令，得．

①當，即時，在上單調(diào)遞增，

只需，解得．

②當，即時，在處取最小值，

令，即，可得，

考查式子，因為，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不可能成立．

③當，即時，在上單調(diào)遞減，

只需，解得．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．