Question

5．已知x為△ABC中最小的角$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{3x}{2}$，1），$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|．
（2）求函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）的值域．

Answer 1

分析 （1）由x為三角形最小角可得0$＜x≤\frac{π}{3}$，然后利用向量垂直列出方程解出x，代入向量坐標(biāo)求出；
（2）化簡(jiǎn)得f（x）=sin²$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$+$\frac{3}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2．然后根據(jù)x的范圍結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：（1）∵x為△ABC中最小的角，∴0$＜x≤\frac{π}{3}$，
∵$\overrightarrow{a}$$⊥\overrightarrow$，∴sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$-$\frac{1}{2}$=0，即sin3x=1．
∴3x=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$．
∴$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$．-$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2+\frac{1}{4}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=sin$\frac{3x}{2}$（sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{3x}{2}$）+$\frac{3}{2}$=sin²$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$cos$\frac{3x}{2}$+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos3x}{2}-\frac{1}{2}sin3x+\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$sin3x-$\frac{1}{2}$cos3x+2=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）+2．
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴3x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴當(dāng)3x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)3x$+\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{5}{2}$．
∴f（x）的值域是[2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及三角函數(shù)的恒等變換，求出x的范圍是關(guān)鍵．