Question

15．已知直線l經過點（4，0），且傾斜角為$\frac{3}{4}π$，圓M以$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$為圓心，過極點．
（Ⅰ）求l與M的極坐標方程；
（Ⅱ）判斷l(xiāng)與M的位置關系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意畫出圖形，分別在兩直角三角形中求得l與M的極坐標方程；
（Ⅱ）化極坐標方程為直角坐標方程，求出圓M的圓心，由點到直線距離公式判斷l(xiāng)與M的位置關系．

解答 解：（Ⅰ）如圖，
設l上任一點P（ρ，θ），在△OAP中，由正弦定理$\frac{ρ}{{sin\frac{π}{4}}}=\frac{4}{{sin（\frac{3π}{4}-θ）}}$，即ρ（cosθ+sinθ）=4；
設圓M上任一點Q（ρ，θ），連接OM延長交圓于B，在直角三角形OBQ中$ρ=2\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$，即ρ=2cosθ+2sinθ；
（Ⅱ）把l與M的極坐標方程化為直角坐標方程，l：x+y=4，
M：x²+y²-2x-2y=0，
∵圓心M（1，1）到l的距離d=$\frac{{|{1+1-4}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$=r，∴l(xiāng)與M相切．

點評 本題考查簡單曲線的極坐標方程，考查了極坐標與直角坐標的互化，訓練了點到直線距離公式的應用，是基礎題．