Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為，且a_n是S_n和1的等差中項，b_n等差數(shù)列．滿足b₁=a₁，b₄=S₃
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

1

bnbn+1

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，若T_n≤λb_n+1對一切n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可知，S_n=2a_n-1，結合遞推公式a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1，結合等比數(shù)列的通項公式可求由b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，可求公差d，進而可求b_n，
（2）由c_n=

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂項求和可求T_n，從而T_n≤λb_n+1對一切n∈N^*恒成立，可轉化為

n

2n+1

≤λ（2n+1）對一切n∈N^*恒成立，結合數(shù)列的單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵a_n是S_n和1的等差中項，∴S_n=2a_n-1
當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-1，S_n=2ⁿ-1．
設{b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d=7，∴d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）c_n=

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

∵T_n≤λb_n+1對一切n∈N^*恒成立，
∴

n

2n+1

≤λ（2n+1）對一切n∈N^*恒成立，
∴λ≥

1

4n+ 1 n +4

．
令f（n）=

1

4n+ 1 n +4

，則f（n）單調遞減，
∴λ≥

1

9

．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的應用，數(shù)列的遞推公式的應用及數(shù)列的裂項求和及數(shù)列的單調性在數(shù)列的最值求解中的應用，難度中等．