Question

定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱(chēng)f（x）是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”；
②“

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-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；
③f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、0個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”；
②令x=0，可得f（

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）=-

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f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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（f（0））²＜0，由此可得結(jié)論；
③用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，從而有λ+1=2λ=λ²=0，此式無(wú)解；

解答： 解：①設(shè)f（x）=C是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時(shí)，可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個(gè)常值“λ-伴隨函數(shù)”，故①不正確；
②令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0，所以f（

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）=-

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f（0）
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））²＜0．
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，

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）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“

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2

-伴隨函數(shù)”必有根，即任意“

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2

-伴隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故②正確；
③用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無(wú)解，所以f（x）=x²不是一個(gè)“λ-伴隨函數(shù)”，故③不正確；
故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)1個(gè)，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，函數(shù)的零點(diǎn)，正確理解f（x）是λ-伴隨函數(shù)的定義，是解答本題的關(guān)鍵．