Question

14．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁的直線l交橢圓C于E，G兩點(diǎn)，且△EGF₂的周長為$4\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，且A，B兩點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}（O$為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于△EGF₂的周長為$4\sqrt{2}$，可得4a=4$\sqrt{2}$，解得a．又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b²=a²-c²，解出即可得出．
（2）易知直線AB的斜率存在，即t≠0．設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），與橢圓方程聯(lián)立化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．利用△＞0，及其因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，可得x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，解得k的取值范圍．利用$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$，及其根與系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓C的方程解出即可得出．

解答 解：（1）∵△EGF₂的周長為$4\sqrt{2}$，∴4a=4$\sqrt{2}$，解得a=$\sqrt{2}$．
又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）易知直線AB的斜率存在，即t≠0．設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化為（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△=64k²-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得${k^2}＜\frac{1}{2}$．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，∴${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}＞0，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}＞0$．
∴${k^2}＞\frac{1}{4}$．而${k^2}＜\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{4}＜{k^2}＜\frac{1}{2}$．
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=t\overrightarrow{OP}$，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
∴$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{t}=\frac{{8{k^2}}}{{t（1+2{k^2}）}}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{t}=\frac{1}{t}[k（{x_1}+{x_2}）-4k]=\frac{-4k}{{t（1+2{k^2}）}}$．
∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴$\frac{{{{（8{k^2}）}^2}}}{{{{[t（1+2{k^2}）]}^2}}}+2\frac{{{{（-4k）}^2}}}{{{{[t（1+2{k^2}）]}^2}}}=2$，
∴16k²=t²（1+2k²）．
∴${t^2}=\frac{{16{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=8-\frac{8}{{1+2{k^2}}}$，
又$\frac{3}{2}＜1+2{k^2}＜2$，∴$\frac{8}{3}＜{t^2}=8-\frac{8}{{1+2{k^2}}}＜4$．
∴$-2＜t＜-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}或\frac{{2\sqrt{6}}}{3}＜t＜2$，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為$（-2，-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）∪（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，2）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的判別式及其根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．