Question

設(shè)P（x，y）是曲線C：x²+y²+4x+3=0上任意一點(diǎn)，則

y

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：由曲線C方程是x²+y²+4x+3=0，知曲線C是一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)是（-2，0），半徑是1，關(guān)于x軸上下對(duì)稱，設(shè)圓心為A，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過(guò)O作直線OB與圓相切于B（取切點(diǎn)B在第三象限），直線OB與x軸的夾角為α，則

y

x

=tanα=

AB

BO

，由此入手能夠求出

y

x

的取值范圍．

解答： 解：∵曲線C方程是x²+y²+4x+3=0，即（x+2）²+y²=1，
故曲線C是一個(gè)圓，圓心坐標(biāo)是（-2，0），半徑是1，關(guān)于x軸上下對(duì)稱，
設(shè)圓心為A，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，過(guò)O作直線OB與圓相切于B（取切點(diǎn)B在第三象限），
直線OB與x軸的夾角為α，則

y

x

=tanα=

AB

BO

，
∵AO=|-2|=2，AB=1，△AOB是直角三角形
∴BO=

22-12

=

3

，
故

y

x

=tanα=

AB

BO

=

1

3

=

3

3

，
∴α=

π

6

，
∵曲線C是一個(gè)圓，關(guān)于X軸對(duì)稱，
∴α=-

π

6

時(shí)，直線

y

x

與直線OB關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)切點(diǎn)在第二象限，
∴

y

x

=tanα=tan（-

π

6

）=-

3

3

．
故

y

x

的取值范圍是[-

3

3

，

3

3

]．
故答案為：[-

3

3

，

3

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意圓的對(duì)稱性的合理運(yùn)用．