Question

定義在[-2，2]上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足2013f(-x)=

1

2013f(x)

，且在[0，2]上為增函數(shù)，若f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先確定函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，從而不等式可化為關(guān)于m的不等式組．

解答： 解；由2013f(-x)=

1

2013f(x)

得，2013^f（-x）•2013^f（x）=1，即2013^{f（-x）+f（x）}=1
即f（-x）+f（x）=0，故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
又函數(shù)f（x）的圖象在[-2，2]上為連續(xù)不斷的曲線，且在[0，2]上是增函數(shù)，
所以不等式f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]可化為

-2≤log2m≤2 -2≤log4(m+2)≤2 log2m＜log4(m+2)

，
解得

1

4

≤m＜2．
故答案為：

1

4

≤m＜2．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，利用性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的不等式組是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．