Question

已知f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，3）是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由題意列出不等式即可求得結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1，
∴f′（x）=x²+ax+a-1=（x+1）（x+a-1），
∴當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）≥0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)，不滿足題意，
當(dāng)a＞2時(shí)，由f′（x）＞0得，x＜1-a或x＞-1，由f′（x）＜0得1-a＜x＜-1，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1-a），（-1，+∞）上是增函數(shù)，在（1-a，-1）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＜2時(shí)，由f′（x）＞0得，x＞1-a或x＜-1，由f′（x）＜0得-1＜x＜1-a，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1），（1-a，+∞）上是增函數(shù)，在（-1，1-a）上是減函數(shù)；
又f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+（a-1）x+1在區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（2，3）是增函數(shù)，
∴

a＜2 1≤1-a≤2

，
解得-1≤a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及分類討論思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．