Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+c的圖象過點（0，-16），且在x=1處的切線方程是y=4x-18．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若直線為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點，求直線的方程及切點坐標；
（3）若函數(shù)g（x）=x³+x²-lnx，記F（x）=f（x）-g（x），求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意直接得c，再由在x=1處的切線方程是y=4x-18，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-14}\\{f′（1）=4}\end{array}\right.$，求解方程組得答案；
（2）設(shè)出切點坐標，求出函數(shù)在切點處的導數(shù)，寫出直線方程點斜式，代入原點坐標求得答案；
（3）對y=F（x）求導，由導函數(shù)為0求出極值點，然后再求出端點處的函數(shù)值，比較大小后可得函數(shù)y=F（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由題意：c=-16，
∵f′（x）=3ax²+b，切線過（1，-14），
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-14\\ f'（1）=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+b-16=-14\\ 3a+b=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³+x-16；
（2）設(shè)切點$（{x_0}，{x_0}^3+{x_0}-16）$，
∵f′（x）=3x²+1，∴$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}+1$，
則切線方程：$y-{x_0}^3-{x_0}+16=（3{x_0}^2+1）（x-{x_0}）$，
∵切線過原點，∴$-{x_0}^3-{x_0}+16=-3{x_0}^3-{x_0}⇒{x_0}=-2$，
即切點坐標為（-2，-26）．
∴切線方程為y+26=13（x+2），整理得y=13x；
（3）$F（x）={x^3}+x-16-{x^3}-{x^2}+lnx=-{x^2}+x+lnx-16，x∈[\frac{1}{2}，3]$，
則$F'（x）=-2x+1+\frac{1}{x}=-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=-\frac{（x-1）（2x+1）}{x}＞0$，
解得：x＜1，
∴F（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上為增函數(shù)，在[1，3]上為減函數(shù)，
則F（x）的極大值為F（1）=-16，
$F（\frac{1}{2}）=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+ln\frac{1}{2}-16=\frac{1}{4}-ln2-16$$＞\frac{1}{4}-ln\sqrt{e}-16=-\frac{1}{4}-16$，
F（3）=-9+3+ln3-16=-6+ln3-16＜-6+2-16=-20，
則$F（\frac{1}{2}）＞F（3）$．
∴F（x）_max=F（1）=0，F(xiàn)（x）_min=F（3）=-22+ln3．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查計算能力，是中檔題．