Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出過(guò)點(diǎn)A（0，-b）  和B（a，0）的直線，利用直線L與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

3

2

，橢圓的離心率

6

3

，建立方程，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及CD為圓心的圓過(guò)點(diǎn)E，利用數(shù)量積為0，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵直線過(guò)點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0），
∴直線L：

x

a

-

y

b

=1與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

3

2

，∴

3

2

=

|ab|

a2+b2

．①…（2分）
∵橢圓的離心率 e=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．②…（4分）
由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③
由②③得a²=3，c²=2
∴b²=a²-c²=1
∴所求橢圓的方程是

x2

3

+y²=1…（6分）
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

…（10分）
∵

EC

=（x₁+1，y₁），

ED

=（x₂+1，y₂），且以CD為圓心的圓過(guò)點(diǎn)E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×

9

1+3k2

+（2k+1）×

-12k

1+3k2

+5=0，解得k=

7

6

＞1，
∴當(dāng)k=

7

6

時(shí)以CD為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)E…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解．