Question

已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

，且過(guò)拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F′，過(guò)F′作兩條直線l₁和l₂，其斜率分別為k、k′，滿足k＞0，k+k′=0，它們分別是橢圓Γ的上半部分相交于G，H兩點(diǎn)，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，使得|GH|=

16

5

，求證：△ABF′的外接圓過(guò)點(diǎn)F；
（3）設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，P，Q是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PFQ=

π

2

，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M在l上的投影為N，求

|MN|

|PQ|

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用離心率為

3

2

，且過(guò)拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)F，求出a，b，即可求橢圓Γ的方程；
（2）l₁的方程y=kx-1代入橢圓方程，求出|GH|，可得k的值，可得l₁和l₂的方程，求出A，B的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)∠PQF=θ（0＜θ＜

π

2

），則|PF|=|PQ|sinθ，|QF|=|PQ|cosθ，由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得|MN|=

1

2

（|PF|+|QF|），從而可得

|MN|

|PQ|

=

2

2

sin（θ+

π

4

），即可求出

|MN|

|PQ|

的最大值．

解答： （1）解：由已知F（0，1），設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則b=1，
∵離心率為

3

2

，
∴

a2-1

a2

=

3

4

，
∴a=2，
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）證明：由題意，F(xiàn)′（0，-1），并且l₁和l₂，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴G與H，A與B也分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
l₁的方程y=kx-1代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²-8kx=0，
∴x=0或x=

8k

1+4k2

，
∴|GH|=2×|

8k

1+4k2

|=

16

5

，
∴k=1或k=

1

4

，
∵直線是橢圓Γ的上半部分相交，
∴k＞

1

2

，
∴k=1，
∴l(xiāng)₁和l₂的方程分別為y=x-1或y=-x-1，
令y=0，可得A（1，0），B（-1，0），
∴|OA|=|OB|=|OF|=|OF′|，
∴A，B，F(xiàn)，F(xiàn)′四點(diǎn)共圓，
∴ABF′的外接圓過(guò)點(diǎn)F；
（3）設(shè)∠PQF=θ（0＜θ＜

π

2

），則|PF|=|PQ|sinθ，|QF|=|PQ|cosθ，
∴|PF|+|QF|=|PQ|（sinθ+cosθ）=

2

sin（θ+

π

4

）
由拋物線的定義及梯形的中位線定理可得|MN|=

1

2

（|PF|+|QF|），
∴

|MN|

|PQ|

=

2

2

sin（θ+

π

4

）
∴θ=

π

4

時(shí)，

|MN|

|PQ|

的最大值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查拋物線的定義及梯形的中位線定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．