Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分別是AC，BC的中點，AB=2

3

，AC=2，PD=2

2

，Q為線段PE上不同于端點的一動點．
（Ⅰ）求證：AC⊥DQ；
（Ⅱ）若二面角B-AQ-E的大小為60°，求

QE

PE

的值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）先證明PE⊥面ABC，可得PE⊥AC，再證明PD⊥AC，利用線面垂直的判定定理證明AC⊥面PDE，即可證明AC⊥DQ；
（Ⅱ）過點B作BF⊥AE于F，則BF⊥面PAE，過F作FG⊥AQ于點G，連接BG，則∠BGF即為二面角B-AQ-E的平面角，根據(jù)二面角B-AQ-E的大小為60°，求出QE，PE，即可求

QE

PE

的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA=PB=PC，
∴P在底面ABC的射影是△ABC的外心E，
∴PE⊥面ABC，
又AC?面ABC，從而PE⊥AC． …（3分）
又∵PA=PC，且D 是AC的中點，
∴PD⊥AC，
∵PE∩PD=P，
∴AC⊥面PDE．
又DQ?面PDE，∴AC⊥DQ．…（6分）
（Ⅱ）解：過點B作BF⊥AE于F，則BF⊥面PAE，
過F作FG⊥AQ于點G，連接BG，則∠BGF即為二面角B-AQ-E的平面角．…（8分）
在Rt△ABF中，由AB=2

3

，∠BAF=30°得AF=3，BF=

3

．
在Rt△BGF中，由BF=

3

，∠BGF=60°，∴GF=1．
在△AQF中，設(shè)QE=h，則AQ=

4+h2

，
由S△AQF=

1

2

AQ•GF=

1

2

AF•QE得

4+h2

=3h，從而h=

2

2

，…（12分）
又在Rt△PED中，PD=2

2

，DE=

3

，∴PE=

5

，從而

QE

PE

=

10

10

．…（14分）

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角及三角函數(shù)及空間坐標系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．