Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)P到左右兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

2

，離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若y軸上一點(diǎn)M(0，

3

7

)滿足|MA|=|MB|，求直線l的斜率k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義求出a，根據(jù)離心率為

2

2

，求出c，從而可求b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，確定AB的中垂線方程，利用|MA|=|MB|，即可求直線l的斜率k的值．

解答： 解：（Ⅰ）|PF1|+|PF2|=2a=2

2

，∴a=

2

-----------------------（1分）
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=

2

2

×

2

=1，-----------------------（2分）
∴b²=a²-c²=2-1=1-----------------------（3分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1-----------------------（4分）
（Ⅱ）已知F₂（1，0），設(shè)直線的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）----------（5分）
聯(lián)立直線與橢圓的方程

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，化簡(jiǎn)得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0------------（6分）
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，y1+y2=k(x1+x2)-2k=

-2k

1+2k2

∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

)-----------------------（8分）
①當(dāng)k≠0時(shí)，AB的中垂線方程為y-

-k

1+2k2

=-

1

k

(x-

2k2

1+2k2

)--------------（9分）
∵|MA|=|MB|，∴點(diǎn)M在AB的中垂線上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線方程得：

3

7

+

k

1+2k2

=

2k

1+2k2

，
即2

3

k2-7k+

3

=0，解得k=

3

或k=

3

6

-----------------------（11分）
②當(dāng)k=0時(shí)，AB的中垂線方程為x=0，滿足題意．-----------------------（12分）
∴斜率k的取值為0， 

3

， 

3

6

．-----------------------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．