Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，△ABC為等邊三角形． O為AB的中點，OF⊥EC．
（Ⅰ）求證：OE⊥FC；
（Ⅱ）求二面角E-FC-O的正切值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明OE⊥FC，只需證明OE⊥平面OFC，只需證明OF⊥OE，OC⊥OE；
（Ⅱ）過O作OG⊥FC，垂足為G，連接EG，則∠OGE就是二面角E-FC-O的平面角，求出OG，OE，即可求二面角E-FC-O的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OC，因AC=BC，O是AB的中點，
故OC⊥AB．            …（1分）
又因平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABEF，
于是OC⊥OF．         …（3分）
又OF⊥EC，
所以O(shè)F⊥平面OEC，
所以O(shè)F⊥OE，…（5分）
又因OC⊥OE，故OE⊥平面OFC，
所以O(shè)E⊥FC．         …（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得AB=2AF．不妨設(shè)AF=1，則AB=2．
因為△ABC為等邊三角形，則AC=BC=2，…（9分）
過O作OG⊥FC，垂足為G，連接EG，
則∠OGE就是二面角E-FC-O的平面角．…（11分）
在△OFC中，F(xiàn)C=

5

，CO=

3

，OF=

2

，
所以

5

OG=

3

•

2

，
所以O(shè)G=

6

5

，
又EO=

2

，
所以tan∠EGO=

EO

EG

=

15

3

，
即二面角E-FC-O的正切值為

15

3

．                          …（14分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，正確作出面面角是關(guān)鍵．