Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線(xiàn)y=

1

2

x-1與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）求線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），離心率為

3

2

，建立方程組，求出a，b，由此可得橢圓的方程；
（2）利用點(diǎn)差法，結(jié)合直線(xiàn)的斜率，即可求線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），
∴

a2-b2 a2 = 3 4 4 a2 + 1 b2 =1

，
∴a²=8，b²=2，
∴橢圓方程方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線(xiàn)段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），
則x₁²+4y₁²=8，x₂²+4y₂²=8，
兩式相減，結(jié)合直線(xiàn)y=

1

2

x-1可得2a+8b•

1

2

=0，即a+2b=0，
∵b=

1

2

a-1，
∴a=1，即線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．