在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（-1，0）和F（1，0），圓E是以E為圓心，半徑為2
2
的圓，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，求點(diǎn)Q的軌跡方程T；
（Ⅱ）已知M，N是曲線T上的兩點(diǎn)，若曲線T上存在點(diǎn)P，滿足
OM
+
ON
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）連結(jié)QF，由已知條件推導(dǎo)出|QP|=|QF|，從而得到|QE|+|QF|=PE=2
2
，由此推導(dǎo)出點(diǎn)Q的軌跡方程T是以E（-1，0）和F（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而能求出點(diǎn)Q的軌跡方程T．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，把y=kx+m代入橢圓
x2
2
+y2=1，得（1+2k2）x2+4kx+2m2-2=0，分m=0和m≠0兩種情況進(jìn)行討論，能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）如圖，連結(jié)QF，
∵點(diǎn)E（-1，0）和F（1，0），
圓E是以E為圓心，半徑為2
2
的圓，點(diǎn)P是圓E上任意一點(diǎn)，
線段FP的垂直平分線l和半徑EP所在的直線交于點(diǎn)Q，
∴|QP|=|QF|，∴|QE|+|QF|=PE=2
2
，
∴點(diǎn)Q的軌跡方程T是以E（-1，0）和F（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=2
2
，a=
2
，c=1，∴b=1，
∴點(diǎn)Q的軌跡方程T：
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M、N的直線為l，由題意和l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
把y=kx+m代入橢圓
x2
2
+y2=1，
整理，得（1+2k2）x2+4kx+2m2-2=0，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），
則x1+x2=-
4km
1+2k2
，x1x2=
2m2-2
1+2k2
，
∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=
2m
1+2k2
，
①當(dāng)m=0時，點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱，則λ=0；
②當(dāng)m≠0時，點(diǎn)M，N不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則λ≠0，
∵
OM
+
ON
=λ
OP
，
∴x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，
∴x0=
x1+x2
λ
=-
4km
λ(1+2k2)
，y0=
y1+y2
λ
=
2m
λ(1+2k2)
，
∵點(diǎn)P在
x2
2
+y2=1上，
∴[-
4km
λ(1+2k2)
]2+2[
2m
λ(1+2k2)
]2=2，
化簡，得4m2（1+2k2）=λ2（1+k2）2，
∵1+2k2≠0，∴4m2=λ2（1+2k2），①
又∵△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）
=8（1+2k2-m2）＞0，
∴1+2k2＞m2，②
聯(lián)立①②及m≠0，得λ2＜4，∴-2＜λ＜2，且λ≠0．
綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-2，2）．
點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，要熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓
x=2cosθ
y=
3
sinθ
（θ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且于直線
x=4-2t
y=3-t
（t為參數(shù)）平行的直線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的是（　�。�
A、梯形可以確定一個平面
B、圓心和圓上兩點(diǎn)可以確定一個平面
C、兩條直線a，b沒有公共點(diǎn)，那么a與b是異面直線
D、若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓Γ的焦點(diǎn)為F1（-1，0）、F2（1，0），點(diǎn)M(1，
3
2
)在橢圓Γ上．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)雙曲線Σ：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)A、B都是曲線Γ的頂點(diǎn)，經(jīng)過雙曲線Σ的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與Σ在第一象限內(nèi)相交于N，若直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求雙曲線Σ的離心率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄如下：A1（3，-2
3
）、A2（-2，0）、A3（4，-4）、A4（
2
，
2
2
）．
（Ⅰ）經(jīng)判斷點(diǎn)A1，A3在拋物線C2上，試求出C1、C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求拋物線C2的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)并求出橢圓C1的離心率；
（Ⅲ）過C2的焦點(diǎn)F直線l與橢圓C1交不同兩點(diǎn)M，N，且滿足
OM
⊥
ON
，試求出直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)F2，且
OP
•
OF2
=2，tan∠OPF2=
2
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)M（-1，0），設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q、M兩點(diǎn)的直線l交y軸于點(diǎn)N，若
NQ
=2
QM
，求直線l的方程；
（Ⅲ）作直線l1與橢圓D：
x2
a2
+
2y2
b2
=1交于不同的兩點(diǎn)S，T，其中S點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），若點(diǎn)G（0，t）是線段ST垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足
GS
•
GT
=4，求實(shí)數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn)，若橢圓的離心率為
1
2
，橢圓的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為3，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上是否存在一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到其左準(zhǔn)線的距離MN是MF1，MF2的等比中項(xiàng)？若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個端點(diǎn)分別為A，B，且滿足|
F1A
+
F1B
|=|
F2A
-
F2B
|，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（
2
，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M（
2
3
，0）且斜率為k的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，問：在x軸的正半軸上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），定點(diǎn)M（0，5），直線l：y=
p
2
與y軸交于點(diǎn)F，O為原點(diǎn)，若以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，連AF，BF延長交拋物線分別于A′，B′，求證：拋物線C分別過A′，B′兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動．

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同步練習(xí)冊答案