Question

如圖，設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B，且滿足|

F1A

+

F1B

|=|

F2A

-

F2B

|，橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（

2

3

，0）且斜率為k的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：在x軸的正半軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論直線l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由|

F1A

+

F1B

|=|

F2A

-

F2B

|得2b=2c，即b=c，根據(jù)橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

，1），求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)l的方程為y=k（x-

2

3

），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，證明

PT

•

QT

=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)橢圓的半焦距為c（c＞0），由|

F1A

+

F1B

|=|

F2A

-

F2B

|得2b=2c，即b=c，
得a²=b²+c²=2b²，
∵橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

2

，1），
∴

2

2b2

+

1

b2

=1，
∴b²=2，a²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（II）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，將x=

2

3

代入到橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程中得y=±

4

3

，
∵

4

3

+

2

3

=2，∴存在T（2，0）滿足條件；
直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)其斜率為k，下面證明無(wú)論k為何值，T（2，0）滿足條件．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意l的方程為y=k（x-

2

3

），
代入橢圓方程，消去y，可得（1+2k²）x²-

8

3

k²x+

8

9

k²-4=0，
∴x₁+x₂=

8 3 k2

1+2k2

，x₁x₂=

8 9 k2-4

1+2k2

，
∴

PT

•

QT

=（1+k²）x₁x₂-（2+k²）（x₁+x₂）+

4

9

k²+4=0，
∴無(wú)論k為何值，

PT

•

QT

=0，即以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（2，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．