Question

已知橢圓Γ的焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點(diǎn)M(1，

3

2

)在橢圓Γ上．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)雙曲線Σ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)A、B都是曲線Γ的頂點(diǎn)，經(jīng)過雙曲線Σ的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與Σ在第一象限內(nèi)相交于N，若直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求雙曲線Σ的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐曲線的綜合,雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的定義，求出a，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求b，即可得到橢圓Γ的方程；
（2）確定雙曲線Σ的頂點(diǎn)，求出N的坐標(biāo)，利用直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得

b2

ac

=

3

2

，即可求出雙曲線Σ的離心率．

解答： 解：（1）∵橢圓Γ的焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點(diǎn)M(1，

3

2

)在橢圓Γ上，
∴2a=

22+ 9 4

+

3

2

=4，
∴a=2，
∵c=1，∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵雙曲線Σ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的頂點(diǎn)A、B都是曲線Γ的頂點(diǎn)，
∴a=2，
∵經(jīng)過雙曲線Σ的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與Σ在第一象限內(nèi)相交于N，
∴N（c，

b2

a

），
∵直線MN經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴

b2

ac

=

3

2

，
∴2（c²-a²）=3ac，
∴2e²-3e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．