Question

1．（1）求與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點，且經(jīng)過點（3$\sqrt{2}$，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，求該雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{16-λ}$-$\frac{{y}^{2}}{4+λ}$=1，（-4＜λ＜16），利用待定系數(shù)法能求出雙曲線方程．
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為$y=±\frac{a}x$，圓心C（3，0），半徑r=2，由此利用點到直線距離公式能求出雙曲線方程．

解答 解：（1）∵雙曲線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點，
∴設(shè)所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{16-λ}$-$\frac{{y}^{2}}{4+λ}$=1，（-4＜λ＜16），
∵雙曲線過點（$3\sqrt{2}$，2），∴$\frac{18}{16-λ}$+$\frac{4}{4+λ}$=1，
∴λ=4或λ=-14．（舍）
∴所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
（2）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為$y=±\frac{a}x$，
即一條漸近線方程為bx-ay=0，
∵圓C：x²+y²-6x+5=0可轉(zhuǎn)化為（x-3）²+y²=4，
∴圓心C（3，0），半徑r=2，∴c²=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=9}\\{\frac{|3b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}}\end{array}\right.$=2，解得a²=5，b²=4，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意待定系數(shù)法和點到直線距離公式的合理運(yùn)用．