Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（

1

2

，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為

1

2

．記動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=-

1

2

于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于x軸．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：計(jì)算題,轉(zhuǎn)化思想,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（

1

2

，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為

1

2

．列出關(guān)系式，即可求曲線C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=-

1

2

于點(diǎn)D，設(shè)A的坐標(biāo)為（

y02

2

，y0），求出OM的方程為y=

2

y0

x（y₀≠0），推出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)然后求出直線AF的方程，求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，判斷直線DB平行于x軸．即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）依題意：|PF|-x=

1

2

…（2分）
∴

(x- 1 2 )2+y2

=

1

2

+x （x-

1

2

）²+y²=（x+

1

2

）²…（4分）
∴y²=2x…（6分）
注：或直接用定義求解．
（2）設(shè)A的坐標(biāo)為（

y02

2

，y0），則OM的方程為y=

2

y0

x（y₀≠0），
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為y=-

1

y0

，
∵F（

1

2

，0）
∴直線AF的方程為y=

y0

y02 2 - 1 2

(x-

1

2

)，(y02≠1)
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為y=-

1

y0

．
∴BD∥x軸；當(dāng)y₀²=1時(shí)，結(jié)論也成立，
∴直線DB平行于x軸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．