Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作任意角α，β，它們的終邊與單位圓O的交點分別為A，B，
（1）設(shè)α=105°，β=75°，求

OA

•

OB

；
（2）試證明兩角差的余弦公式C_（α-β）；cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由題意推出點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），利用兩角差的余弦函數(shù)直接求解即可．
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，作一單位圓，再以原點為頂點，x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角α，β．設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），即有兩單位向量

OA

，

OB

，它們的所成角是|α-β|，根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)能夠證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

解答： 解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，作一單位圓，
再以原點為頂點，x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角α=105°，β=75°．
設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），

OA

•

OB

=cos105°cos75°+sin105°sin75°
=cos（105°-75°）=cos30°=

3

2

．
（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心，作一單位圓，再以原點為頂點，x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角α，β．
設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），…（4分）
即有兩單位向量

OA

，

OB

，
它們的所成角是|α-β|，
根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)得：

OA

•

OB

=cos（α-β）=cos|α-β|①
又根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算得：

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

點評：本題考查平面向量的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，利用三角函數(shù)的性質(zhì)合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．