Question

已知

OA

，

OB

是不共線的向量，若A，B，P三點(diǎn)共線，求證：存在實(shí)數(shù)x，y使

OP

=x

OA

+y

OB

且x+y=1，反之成立．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先想著用

OA

，

OB

來(lái)表示

OP

，根據(jù)向量的加法運(yùn)算，

OP

=

OA

+

AP

，因?yàn)锳，B，P三點(diǎn)共線，所以

AP

，

AB

共線，根據(jù)共線向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ使：

AP

=λ

AB

=λ(

OB

-

OA

)．所以能得到

OP

=(1-λ)

OA

+λ

OB

，所以存在實(shí)數(shù)x=1-λ，y=λ使

OP

=x

OA

+y

OB

且x+y=1，這算正著證完了，再證明反之成立．先根據(jù)x+y=1得到：

OP

=(1-y)

OA

+y

OB

=

OA

+y

AB

，再根據(jù)向量的加法運(yùn)算，

OP

=

OA

+

AP

，所以得到：

AP

=y

AB

，所以根據(jù)共線向量基本定理得出A，B，P三點(diǎn)共線．

解答： 證：（1）

OP

=

OA

+

AP

；
∵A，B，P三點(diǎn)共線
∴

AP

和

AB

共線；
∴存在實(shí)數(shù)λ使：

AP

=λ

AB

=λ(

OB

-

OA

)；
∴

OP

=

OA

+λ(

OB

-

OA

)=(1-λ)

OA

+λ

OB

；
令x=1-λ，y=λ則：

OP

=x

OA

+y

OB

且x+y=1．
（2）我們來(lái)證反過(guò)來(lái)成立．
x+y=1
∴x=1-y；
∴

OP

=(1-y)

OA

+y

OB

=y(

OB

-

OA

)+

OA

=

OA

+y

AB

；
又

OP

=

OA

+

AP

；
∴

AP

=y

AB

；
根據(jù)共線向量基本定理：

AP

和

AB

共線，又

AP

和

AB

有一個(gè)公共點(diǎn)A；
∴A，B，P三點(diǎn)共線．
∴反之也成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的加法運(yùn)算，共線向量基本定理，向量共線的判定，根據(jù)向量的加法運(yùn)算用其它向量來(lái)表示

OP

是證明本題的關(guān)鍵．