Question

設函數f（x）=

1

x2-1

，
（1）求函數f（x）的定義域、值域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）指出函數f（x）的單調區(qū)間并就其中一種情況加以證明．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據分式函數成立的條件和性質即可求函數f（x）的定義域、值域；
（2）根據函數的奇偶性的定義即可判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）根據函數單調性的定義進行判斷即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

x2-1

，
∴x²-1≠0，即x≠±1，即函數的定義域為{x|x≠±1}．
則f（x）≠0，即f（x）值域為{x|x≠0}；
（2）∵函數的定義域為{x|x≠±1}．
∴定義域關于原點對稱，
∵f（-x）=

1

x2-1

=f（x），
∴函數f（x）的是偶函數；
（3）設t=x²-1，則y=

1

t

，
∵當x＞1時，函數t=x²-1單調遞增，此時y=

1

t

單調遞減，∴此時函數f（x）單調遞減，
當0＜x＜1時，函數t=x²-1單調遞增，此時y=

1

t

單調遞減，∴此時函數f（x）單調遞減，
當x＜-1時，函數t=x²-1單調遞減，此時y=

1

t

單調遞減，∴此時函數f（x）單調遞增，
當-1＜x≤0時，函數t=x²-1單調遞減，此時y=

1

t

單調遞減，∴此時函數f（x）單調遞增，
綜上函數的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，0]，
遞減區(qū)間為（1，+∞）和（0，1）．

點評：本題主要考查分式函數的性質，利用函數的奇偶性和單調性的性質是解決本題的關鍵，綜合考查函數的性質．