Question

如圖，正方形ABCD與正方形BDEF所在的平面互相垂直，AB=1．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用平面與平面垂直的性質(zhì)，即可證明AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）設AC∩BD=O，則OA為四棱錐A-BDEF的高，利用V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF，即可求多面體ABCDEF的體積．

解答： （I）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD．…（2分）
∵平面ABCD⊥平面BDEF，平面ABCD∩平面BDEF=BD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF．…（5分）
（II）解：設AC∩BD=O，
∵AB=1，四邊形ABCD為正方形，
∴BD=

2

，AO=

2

2

，S_BDEF=2．…（7分）
∵AC⊥平面BDEF，
∴OA為四棱錐A-BDEF的高
∴V_ABCDEF=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF…（9分）
=2×

1

3

×2×

2

2

=

2 2

3

．…（12分）
即多面體ABCDEF的體積為

2 2

3

．

點評：本題主要考查空間線與線、線與面的位置關(guān)系、體積的計算等基礎知識；考查空間想象能力、運算求解能力及推理論證能力．