Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且有Sn=

1-an

2

；數(shù)列{b_n}滿足b_n=（2n-7）a_n
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：-

55

27

≤Tn≤-

5

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由Sn=

1-an

2

，推導(dǎo)出an=sn-sn-1=

1-an

2

-

1-an-1

2

，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）利用錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=-2-

n-2

3n

，由此進(jìn)行分類討論，能證明-

55

27

≤Tn≤-

5

3

．

解答： 解：（1）∵Sn=

1-an

2

，
∴n=1時，a1=S1=

1-a1

2

∴a1=

1

3

…（1分）
n≥2時，Sn=

1-an

2

，Sn-1=

1-an-1

2

…（2分）
兩式相減得：an=sn-sn-1=

1-an

2

-

1-an-1

2

，
∴

an

an-1

=

1

3

，…（3分）
∴{a_n}是以a1=

1

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列
∴an=

1

3n

…（4分）
∴bn=(2n-7)an=(2n-7)

1

3n

…（5分）
（2）Tn=

-5

3

+

-3

32

+

-1

33

+…+

2n-7

3n

…①

1

3

Tn=

-5

32

+

-3

33

+

-1

34

+…+

2n-7

3n+1

，②…（7分）
①-②得：

2

3

Tn=-

5

3

+2(

1

32

+

1

33

+

1

34

+…+

1

3n

)-

2n-7

3n+1

…（8分）
=-

5

3

+2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n-7

3n+1

=-

4

3

-

2n-4

3n+1

…（9分）
∴Tn=-2-

n-2

3n

…（10分）
∵Tn+1-Tn=-2-

n-1

3n+1

-(-2-

n-2

3n

)=

2n-5

3n+1

…（11分）
∴當(dāng)n≤2時，

2n-5

3n+1

＜0，T_n+1＜T_n，即T₃＜T₂＜T₁
當(dāng)n≥3時，T_n+1＞T_n，此時T_n＞T₃，
∴Tn≥T3=-

55

27

…（12分）
又當(dāng)n≥3時，

n-2

3n

＞0，此時T_n＜-2
而-2=T2＜T1=-

5

3

，
∴Tn≤T1=-

5

3

…（13分）
∴-

55

27

≤Tn≤-

5

3

…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要注意錯位相減法和分類討論思想的合理運用．