Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差大于0，a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；      
（2）記bn=2an+n，求數(shù)列{b_n}的前n和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先利用韋達(dá)定理求出a₃=5，a₅=9，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差和首項(xiàng)，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由題意知bn=2an+n=22n-1+n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n和S_n．

解答： 解 （1）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的兩根，
且數(shù)列{a_n}的公差d＞0，
解方程x²-14x+45=0，得x₁=5，x₂=9，
∴a₃=5，a₅=9，┅（2分）
∴

a1+2d=5 a1+4d=9

，解得

a1=1 d=2

┅（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1┅（6分）
（2）∵a_n=2n-1，
∴bn=2an+n=22n-1+n┅（8分）
∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=(2a1+2a2+2a3+…+2an)+(1+2+3+…+n)┅（9分）
∵2a1+2a2+2a3+…+2an=21+23+25+…+22n-1=

2(1-4n)

1-4

=

2(4n-1)

3

┅（11分）1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

┅（13分）
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和：
Sn=

2(4n-1)

3

+

n(n+1)

2

┅（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意分組求和法的合理運(yùn)用．