Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值；
（Ⅱ）在線段AA₁上是否存在點(diǎn)D？使得二面角B₁-DC-C₁的大小為60°，若存在，求出AD的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量線面角公式得到cos＜

AB1

，

n1

＞能求出直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值．
（Ⅱ）先假設(shè)存在點(diǎn)D，然后利用向量的二面角公式進(jìn)行計(jì)算．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，以AC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵AA₁=AB=2，
∴A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），
A₁（1，0，2），B1(0，

3

，2)，C₁（-1，0，2），
∴

AB1

=(-1，

3

，2)，
∵平面AA₁C₁C的一個(gè)法向量

n1

=（0，1，0），
∴cos＜

AB1

，

n1

＞=

3

8 ×1

=

6

4

，
∴直線AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正弦值為

6

4

．
（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)D，設(shè)AD=m，（0≤m≤2），則D（1，0，m），
設(shè)平面B₁DC的法向量

n2

=（x，y，z），
∵

CB1

=(1，

3

，2)，

CD

=(2，0，m)，
∴

n2 • CB1 =x+ 3 y+2z=0 n2 • CD =2x+mz=0

，∴

n2

=(m，

4-m

3

，-2)，
平面C₁DC的一個(gè)法向量為

n1

=(0，1，0)，
∵二面角

B

1

-DC-C1的大小為60°，
∴cos60°=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

4-m 3

m2+ (4-m)2 3 +4

|=

1

2

，
∵0≤m≤2，∴m=

3

2

，
∴存在點(diǎn)D，使得二面角B₁-DC-C₁的大小為60°，此時(shí)AD=

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，二查滿足條件的點(diǎn)的存在性的判斷，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．