已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項(xiàng)和,已知a2a4=1,S3=7.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=
1
8
anlog2an,Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*),求Tn的值.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由已知得
a1q•a1q3=1
a1(1-q3)
1-q
=7
,且q>0,由此能求出an=23-n
(2)由bn=
1
8
anlog2an=
1
8
×23-n×(3-n)
=
3-n
2n
,利用分組求和法和錯(cuò)位相減法能求出Tn的值.
解答: 解:(1)∵正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a2a4=1,S3=7,
a1q•a1q3=1
a1(1-q3)
1-q
=7
,且q>0,
解得q=
1
2
,a1=4,
∴an=a1qn-1=4×(
1
2
n-1=23-n
(2)bn=
1
8
anlog2an=
1
8
×23-n×(3-n)
=
3-n
2n
,
Tn=b1+b2+…+bn=3(
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)-(
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n

=3×
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-(
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n

設(shè)Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
,①
1
2
Sn
=
1
22
+
2
23
+
3
24
+…+
n
2n+1
,②
①-②,得
1
2
Sn
=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1

=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n-1

=1-
2n+1
2n

∴Sn=2-
4n+2
2n

∴Tn=1-
1
2n
-2+
4n+2
2n
=
4n+1
2n
-1.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意分組求和法和錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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5
2
B、
1+
5
2
C、
5
2
D、
-1+
5
2

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