Question

已知a≤-

3

2

，求證：關(guān)于x的三個(gè)方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系，我們可以求出關(guān)于x的三個(gè)方程：x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0均無(wú)根的a的范圍，進(jìn)而得到答案．

解答： 證明：不妨假設(shè)三個(gè)方程x²+4ax+3-4a=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0都沒有實(shí)數(shù)根，
則有

16a2+16a-12＜0 (a-1)2-4a2＜0 16a2+60a-16＜0

解得-

3

2

＜a＜-1，
∴當(dāng)a≤-

3

2

或a≥-1時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，
又∵由題設(shè)：a≤-

3

2

故當(dāng)a≤-

3

2

時(shí)，三個(gè)方程x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+4ax-15a+4=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次方程根的個(gè)數(shù)與△符號(hào)的關(guān)系，其中利用“正難則反”的原則，求出三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根時(shí)a的范圍，是解題的關(guān)鍵．