Question

20．不等式$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a的解集是[-4，0]．則a的取值范圍是（-∞，-5]．

Answer 1

分析 令y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$，即（x+2）²+y²=4（y≥0），它表示一個(gè)以C（-2，0）為圓心、半徑等于2的半圓，則由題意可得，當(dāng)x∈[-4，0]時(shí)，半圓y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$ 不能在直線y=$\frac{4}{3}$x+1-a的上方．當(dāng)直線l和半圓相切時(shí)，求得a的值，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：不等式$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1-a的解集是[-4，0]，
令y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$，即：（x+2）²+y²=4（y≥0），它表示一個(gè)以C（-2，0）為圓心、
半徑等于2的半圓，如圖所示：
則由題意可得，當(dāng)x∈[-4，0]時(shí)，半圓y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$ 不能在直線y=$\frac{4}{3}$x+1-a的上方．
當(dāng)直線l和半圓相切時(shí)，
根據(jù)圓心C（-2，0）到直線l：y=$\frac{4}{3}$x+1-a的距離等于半徑，
可得$\frac{|-\frac{8}{3}-0+1-a|}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}$=2，求得a=$\frac{5}{3}$，或a=-5．
由于直線l在y軸上的截距為1-a，數(shù)形結(jié)合可得，應(yīng)取a=-5．
故當(dāng)半圓y=$\sqrt{{-x}^{2}-4x}$ 在直線y=$\frac{4}{3}$x+1-a的下方時(shí)，
應(yīng)把此切線l向上平移，即直線l在y軸上的截距應(yīng)該變大，即1-a變大，故有a≤-5，
故答案為：（-∞，-5]．

點(diǎn)評 本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．