Question

5．α，β是關(guān)于x的方程x²-2（cosθ+1）x+cos²θ=0的兩個實根，且|α-β|≤2$\sqrt{2}$，求θ的范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，及根的個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，可得$-\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，進而得到θ的范圍．

解答 解：∵α，β是關(guān)于x的方程x²-2（cosθ+1）x+cos²θ=0的兩個實根，
∴△=4（cosθ+1）²-4cos²θ≥0，
即cosθ≥$-\frac{1}{2}$，
又由|α-β|=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=2$\sqrt{2cosθ+1}$≤2$\sqrt{2}$，
故cosθ≤$\frac{1}{2}$，
故$-\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，
故θ∈[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）

點評 本題考查的知識點是韋達定理及其推論，三角函數(shù)的求值，解三角不等式，難度中檔．