Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜

1

2

，則不等式f（lgx）＜

lgx+1

2

的解為（　　）

• A、（10，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（0，1）
• D、（1，+10）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-

x

2

，由f′（x）＜

1

2

得到g(x)=f(x)-

x

2

在R上的減函數(shù)，令t=lgx，則不等式
f（lgx）＜

lgx+1

2

的可化為f(t)＜

t+1

2

，變形得到g（t）＜g（1），由單調(diào)性求出t的范圍后可得x的范圍，則不等式f（lgx）＜

lgx+1

2

的解集可求．

解答： 解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
令g(x)=f(x)-

x

2

，
則g′(x)=f′(x)-

1

2

＜0．
∴g(x)=f(x)-

x

2

在R上的減函數(shù)，
令t=lgx，
∴不等式f（lgx）＜

lgx+1

2

的可化為f(t)＜

t+1

2

，
即f(t)-

t

2

＜

1

2

=f(1)-

1

2

，即g（t）＜g（1），
則t＞1．
即lgx＞1，x＞10．
即不等式解集為（10，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了由函數(shù)單調(diào)性求解不等式，是中檔題．