Question

13．已知點(diǎn)P是圓（x-1）²+y²=8上的動點(diǎn)，且點(diǎn)P不在x軸上，F(xiàn)₁、F₂為圓與x軸的兩個交點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的角平分線上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{MP}$=0，又F₁M的延長線與直線PF₂交于點(diǎn)Q，N為PQ的中點(diǎn)，則|$\overrightarrow{MN}$|的取值范圍是（　�。�

• A． （0，2$\sqrt{2}$）
• B． （0，4$\sqrt{2}$）
• C． （0，4）
• D． （2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用等腰三角形的三線合一和中位線定理，可得M為中點(diǎn)，|MN|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，由圓的性質(zhì)可得|MN|的范圍．

解答 解：圓（x-1）²+y²=8的圓心為（1，0），半徑為2$\sqrt{2}$，
令y=0，可得x=1±2$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$$•\overrightarrow{MP}$=0，可得MP⊥F₁M，又MP為∠F₁PF₂的角平分線，
即有|PF₁|=|PQ|，M為F₁Q的中點(diǎn)，
又N為PQ的中點(diǎn)，可得|MN|=$\frac{1}{2}$|PF₁|，
顯然|PF₁|∈（0，4$\sqrt{2}$），即有|MN|∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程和運(yùn)用，考查平面幾何的三線合一和中位線定理的運(yùn)用，注意數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．