Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠C=90°，側(cè)棱與底面所成的角為α（0°＜α＜90°），點B₁在底面上的射影D落在BC上．
（1）求證：AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）當(dāng)α為何值時，AB₁⊥BC₁，且使點D恰為BC中點？
（3）（理科做）當(dāng)α=arccos

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，且AC=BC=AA₁時，求二面角C₁-AB-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證：AC⊥平面BB₁C₁C，只需證明B₁D⊥AC，BC⊥AC即可；
（2）由題意可得：B₁D⊥AC，再結(jié)合題意得到：AC⊥面BB₁C₁C，得到平行四邊形BB₁C₁C為菱形，再根據(jù)解三角形的有關(guān)知識可得：∠B₁BC=60°，進而結(jié)合線面角的定義得到答案．
（3）過C₁作C₁E⊥BC，垂足為E，過E作EF⊥AB，垂足為F，則根據(jù)二面角平面角的定義可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角，利用解三角形的有關(guān)知識求出二面角的平面角．．

解答： （1）證明：∵B₁D⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴B₁D⊥AC
又∵BC⊥AC，B₁D∩BC=D，
∴AC⊥平面BB₁C₁C；
（2）解：∵B₁D⊥面ABC，
∴B₁D⊥AC，
又∵AC⊥BC，BC∩B₁D=D，
∴AC⊥面BB₁C₁C．
∵AB₁⊥BC₁，
∴由三垂線定理可知，B₁C⊥BC₁，即平行四邊形BB₁C₁C為菱形，
又∵B₁D⊥BC，且D為BC的中點，
∴B₁C=B₁B，即△BB₁C為正三角形，
∴∠B₁BC=60°，
∵B₁D⊥面ABC，且點D落在BC上，
∴∠B₁BC即為側(cè)棱與底面所成的角，
∴α=60°．
（3）解：C₁作C₁E⊥BC，垂足為E，則C₁E⊥平面ABC．過E作EF⊥AB，垂足為F，由三垂線定理得C₁E⊥AB．
∴根據(jù)二面角平面角的定義可得：∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．
設(shè)AC=BC=A₁A=a，
在Rt△CC₁E中，由∠C₁CE=α=arccos

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，可得C₁E=

2 2

3

a，
∴在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=

2

2

BE=

2 2

3

a，
∴∠C₁FE=45°．
故所求的二面角C₁-AB-C為45°．

點評：本題考查線面垂直，考查求二面角的平面角與線面角，而空間角解決的關(guān)鍵是作角，由圖形的結(jié)構(gòu)及題設(shè)條件正確作出平面角來，是求角的關(guān)鍵，也可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的有關(guān)知識解決空間角等問題．