Question

2．點P（-1，0）在動直線mx+y+2-m=0（m∈R ）上射影為M，則點M到直線x-y=5的距離的最大值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由射影性質(zhì)先求出M，再由點到直線距離公式求出點M到直線x-y=5的距離d，分m=0和m≠0，結(jié)合均值定理分別討論d的取值，由此能求出點M到直線x-y=5的距離的最大值．

解答 解：設(shè)點P（-1，0）在動直線mx+y+2-m=0（m∈R ）上射影為M（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}=\frac{1}{m}}\\{ma+b+2-m=0}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}$，b=$\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}$，
∴M（$\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}$，$\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}$），
∴點M到直線x-y=5的距離d=$\frac{|\frac{{m}^{2}-2m-1}{{m}^{2}+1}-\frac{2m-2}{{m}^{2}+1}-5|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{4|{（m+\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}|}{{m}^{2}+1}$，
當m=0時，d=2$\sqrt{2}$，
當m≠0時，
d=2$\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{|m|+\frac{1}{|m|}}$）$≤2\sqrt{2}$（1+$\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{2}$．
∴點M到直線x-y=5的距離的最大值是3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查點到直線的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式、均值定理的合理運用．