Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₂=102，a_n+1-a_n=4n，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$的最小項(xiàng)是（　　）

• A． 第6項(xiàng)
• B． 第7項(xiàng)
• C． 第8項(xiàng)
• D． 第9項(xiàng)

Answer 1

分析 由已知條件利用累加法求出a_n=2n²-2n+98，得到$\frac{{a}_{n}}{n}$，然后利用基本不等式求得數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{n}}\right\}$的最小項(xiàng)．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}中，a₂=102，a_n+1-a_n=4n，
∴a_n-a_n-1=4（n-1），
…
a₄-a₃=4×3，
a₃-a₂=4×2，
以上等式相加，得
a_n-a₂=4×2+4×3+…+4×（n-1）
=4（2+3+…+n-1）
=2（n+1）（n-2）．
∴a_n=2n²-2n+98．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2n+$\frac{98}{n}$-2≥2$\sqrt{2n•\frac{98}{n}}$-2=26，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{98}{n}$=2n，即n=7時(shí)，等式成立．
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的最小項(xiàng)是第7項(xiàng)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的最小項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法和均值不等式的合理運(yùn)用．