Question

【題目】已知，.

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，都存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將代入，可得函數(shù)解析式，再代入可得切點(diǎn)坐標(biāo)；求得導(dǎo)函數(shù)，并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，進(jìn)而得切線方程.

（2）將所給方程變形可得；可得在內(nèi)的單調(diào)性，進(jìn)而求得值域，即可求得的值域；構(gòu)造函數(shù)，求得，由定義域及分類討論的單調(diào)情況，并求得最值即可求得符合題意的的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，

；所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，

而，

所以；

∴切線方程為.

化簡(jiǎn)可得.

（2），所以，

對(duì)于，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

∴時(shí)，，或2時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，.

令，

對(duì)任意的，都存在，成立，

所以的值域是的子集，

，

①時(shí)，在上單調(diào)遞增，

∴，，解得.

②時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

∵，恒成立，

下面證明恒成立.

令，，解得.

∴在上單調(diào)遞增，

恒成立，

∴.

③時(shí)，在單調(diào)遞減，

∴，，

解得.

綜上所述.