【題目】已知,.
(1)當時,求在處的切線方程;
(2)當時,若對任意的,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)將代入,可得函數(shù)解析式,再代入可得切點坐標;求得導函數(shù),并由導數(shù)的幾何意義求得切線斜率,進而得切線方程.
(2)將所給方程變形可得;可得在內(nèi)的單調(diào)性,進而求得值域,即可求得的值域;構造函數(shù),求得,由定義域及分類討論的單調(diào)情況,并求得最值即可求得符合題意的的取值范圍.
(1)當時,,
;所以切點坐標為,
而,
所以;
∴切線方程為.
化簡可得.
(2),所以,
對于,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,
∴時,,或2時,,
∴當時,.
令,
對任意的,都存在,成立,
所以的值域是的子集,
,
①時,在上單調(diào)遞增,
∴,,解得.
②時,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,
∵,恒成立,
下面證明恒成立.
令,,解得.
∴在上單調(diào)遞增,
恒成立,
∴.
③時,在單調(diào)遞減,
∴,,
解得.
綜上所述.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),設直線的極坐標方程為.
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,并指出其曲線是什么曲線;
(2)設直線與軸的交點為為曲線上一動點,求的最大值.
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【題目】某市居民自來水收費標準如下:每戶每月用水不超過4噸時,每噸為1.80元,當用水超過4噸時,超過部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶共交水費y元,已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.
(1)求y關于x的函數(shù);
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.
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【題目】已知(是實數(shù),方程有兩個實根,數(shù)列滿足().
(1)求數(shù)列的通項公式(用表示);
(2)若,求的前項和.
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【題目】已知從境外回國的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染,需要通過核酸檢測是否呈陽性來確定是否被感染.下面是兩種檢測方案:
方案一:逐個檢測,直到能確定被感染者為止.
方案二:將8位同胞平均分為2組,將每組成員的核酸混合在一起后隨機抽取一組進行檢測,若檢測呈陽性,則表明被感染者在這4位當中,然后逐個檢測,直到確定被感染者為止;若檢測呈陰性,則在另外一組中逐個進行檢測,直到確定被感染者為止.
(1)根據(jù)方案一,求檢測次數(shù)不多于兩次的概率;
(2)若每次核酸檢測費用都是100元,設方案二所需檢測費用為,求的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】判斷下列命題是否正確,請說明理由:
(1)若向量 與 同向,且,則;
(2)若向,則 與的長度相等且方向相同或相反;
(3)對于任意向量,若 與的方向相同,則 =;
(4)由于 方向不確定,故 不與任意向量平行;
(5)向量 與平行,則向量 與方向相同或相反.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,橢圓的極坐標方程為,其左焦點在直線上.
(1)若直線與橢圓交于兩點,求的值;
(2)求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值.
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【題目】在四棱錐中,平面 平面,底面為梯形,,且
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的余弦值;
(Ⅲ)若M是棱PA的中點,求證:對于棱BC上任意一點F,MF與PC都不平行.
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