波波斯基以游戲方式?jīng)Q定是否參加學(xué)校同人社還是學(xué)校芭蕾舞團(tuán)，游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)（如圖正方體ABCD-EFGH的中心為點(diǎn)O），再從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為終點(diǎn)分別得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X＞0就參加芭蕾舞團(tuán)，否則就參加同人社．
（Ⅰ）求波波參加學(xué)校芭蕾舞社的概率；
（Ⅱ）若分別在左面四個(gè)頂點(diǎn)A，D，H，E處放置藍(lán)球，右面四個(gè)頂點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)處放置紅球，波波斯基在上底面隨機(jī)抽取2個(gè)球，在下底面隨機(jī)抽取3個(gè)球，記抽得的紅球個(gè)數(shù)為ξ，寫出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差
專題：概率與統(tǒng)計(jì)
分析：（Ⅰ）以O(shè)為起點(diǎn)，再從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為終點(diǎn)分別得到兩個(gè)向量，滿足條件的兩個(gè)向量的個(gè)數(shù)為
C
2
8
 
 
個(gè)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，當(dāng)向量的兩個(gè)終點(diǎn)在同一條棱上時(shí)X＞0，由此能求出波波參加學(xué)校芭蕾舞社的概率．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為1，2，3，4，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．
解答： 解：（Ⅰ）以O(shè)為起點(diǎn)，
再從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為終點(diǎn)分別得到兩個(gè)向量，
滿足條件的兩個(gè)向量的個(gè)數(shù)為
C
2
8
 
 
=28個(gè)，分別為：
OA
，
OB
；
OA
，
OC
；
OA
，
OD
；
OA
，
OE
；
OA
，
OF
；
OA
，
OG
；
OA
，
OH
；
OB
，
OC
；
OB
，
OD
；
OB
，
OE
；
OB
，
OF
；
OB
，
OG
；
OB
，
OH
；
OC
，
OD
；
OC
，
OE
；
OC
，
OF
；
OC
，
OG
；
OC
，
OH
；
OD
，
OE
；
OD
，
OF
；
OD
，
OG
；
OD
，
OH
；
OE
，
OF
；
OE
，
OG
；
OE
，
OH
；
OF
，
OG
；
OF
，
OH
；
OG
，
OH
．
這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，則X＞0的有12，分別為：
OA
，
OB
；
OA
，
OD
；
OA
，
OE
；
OB
，
OC
；
OB
，
OF
；
OC
，
OD
；
OC
，
OG
；
OD
，
OH
；
OE
，
OF
；
OE
，
OH
；
OF
，
OG
；
OG
，
OH
．
∴波波參加學(xué)校芭蕾舞社的概率p=
12
C
2
8
=
3
7
．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=
C
2
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
=
1
12
，
P（ξ=2）=
C
1
2
•C
1
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
+
C
2
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
=
5
12
，
P（ξ=3）=
C
1
2
•C
1
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
+
C
2
2
C
1
2
C
2
2
C
2
4
C
3
4
=
5
12
，
P（ξ=4）=
C
2
2
•C
2
2
•C
1
2
C
2
4
C
3
4
=
1
12
，
∴ξ的分布列為：
 ξ  1 2   3  4
 P  
1
12
  
5
12
  
5
12
1
12
數(shù)學(xué)期望Eξ=1×
1
12
+2×
5
12
+3×
5
12
+4×
1
12
=
5
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的靈活運(yùn)用，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=4，
（1）求過點(diǎn)P（3，4）的圓的切線方程；
（2）若過點(diǎn)Q（2，3）的直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q恰為弦AB的中點(diǎn)，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某地機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者在一年內(nèi)最多有3次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第三次為止，如果小王決定參加駕照考試，設(shè)他一年中三次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8．
（Ⅰ）求小王在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率；
（Ⅱ）求在一年內(nèi)小王參加駕照考試次數(shù)ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比為
1
2
，點(diǎn)M得軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）過原點(diǎn)且傾斜角為135°的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C1：（x+
6
2
）2+y2=
25
8
，圓C2：（x-
6
2
）2+y2=
1
8
，動(dòng)圓P與已知兩圓都外切．
（1）求動(dòng)圓的圓心P的軌跡E的方程；
（2）直線l：y=kx+1與點(diǎn)P的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，其中60名男大學(xué)生中有40人愛好此項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，女大學(xué)生中有20人愛好此項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，能不能有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”？
參考數(shù)據(jù) 當(dāng)Χ2≤2.706時(shí)，無充分證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為兩變量無關(guān)聯(lián)；
當(dāng)Χ2＞2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；
當(dāng)Χ2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；
當(dāng)Χ2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．
Χ2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓M：（x+cosθ）2+（y-sinθ）2=1，直線l：y=kx，下面四個(gè)命題：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M相切；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ，直線l和圓M有公共點(diǎn)；
③對(duì)任意實(shí)數(shù)θ，一定存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；
④對(duì)任意實(shí)數(shù)k，一定存在實(shí)數(shù)θ，使得直線l與和圓M相切．
其中真命題的代號(hào)是
 
（寫出所有真命題的代號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)部任取一點(diǎn)M，則滿足∠AMB＞90°的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，如果2b=a+c，B=30°，△ABC的面積是
3
2
，則 b=（　�。�
A、1+
3
B、
1+
3
2
C、
2+
3
2
D、2+
3

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同步練習(xí)冊(cè)答案