Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x）的圖象關于x=1對稱，當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的解析式；
（3）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質,函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據函數(shù)的對稱性和函數(shù)的奇偶性即可得到f（x）是周期函數(shù)；
（2）根據函數(shù)的對稱性，即可求出當x∈[1，2]時的f（x）的解析式；
（3）根據函數(shù)的周期性先計算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）的圖象關于x=1對稱，
∴f（1+x）=f（1-x），
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（2+x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）∵f（x）的圖象關于x=1對稱，
∴f（1+x）=f（1-x），即f（x）=f（2-x）
當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1
∴f（x）=f（2-x）=2^2-x-1，x∈[1，2]．
（3）∵當x∈[0，1]時，f（x）=2^x-1
∴f（0）=0，f（1）=2-1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1，f（4）=f（0）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，
即f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）=503×0+f（2012）+f（2013）=f（0）+f（1）=1．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性，對稱性和周期性的性質的判斷和應用，綜合考查函數(shù)的性質．