Question

已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AD，M、N分別是AB、PC的中點，求證：
（1）MN∥平面PAD；           
（2）平面PMC⊥平面PDC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）欲證MN∥平面PAD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面PAD內(nèi)一直線平行即可，設PD的中點為Q，連接AQ、NQ，易證AMNQ是平行四邊形，則MN∥AQ，而AQ?平面PAD，NM?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）欲證平面PMC⊥平面PCD，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PMC內(nèi)一直線與平面PCD垂直，而AQ⊥PD，CD⊥AQ，PD∩CD=D，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AQ⊥平面PCD，而MN∥AQ，則MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，滿足定理所需條件．

解答： 證明：（1）設PD的中點為Q，連接AQ、NQ，
由N為PC的中點知QN∥DC且QN=

1

2

DC，
又ABCD是矩形，∴DC∥AB，DC=

1

2

AB，
又M是AB的中點，∴QN∥AM，QN=AM，
∴AMNQ是平行四邊形，
∴MN∥AQ，而AQ?平面PAD，NM?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD，
又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AQ，∵PD∩CD=D，∴AQ⊥平面PCD，
∵MN∥AQ，∴MN⊥平面PCD，
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD．

點評：本題主要考查平面與平面垂直的判定，以及線面平行的判定，同時考查了空間想象能力和推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．