Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等邊三角形，側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，D、E分別為AA₁、BC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC與平面BC₁D所成角．

Answer 1

分析 （1）取BC，B₁C₁的中點(diǎn)F、G，連結(jié)FG、AF可得AF∥DE，可證AF⊥平面BB₁C₁C，從而證DE⊥平面BB₁C₁C．
（2）證明平面BC₁D⊥平面BB₁C₁C，過(guò)C作CM⊥BC₁，則CM⊥平面BC₁D，可得∠BCC₁是BC與平面BC₁D所成角，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖
取BC，B₁C₁的中點(diǎn)F、G，連結(jié)FG、AF，∴AF⊥BC，
又AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁
∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AF；
B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
又AD∥EF，且AD=EF=$\frac{1}{2}$AA₁，∴DE∥AF
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（2）解：∵DE⊥平面BB₁C₁C，DE?平面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面BB₁C₁C，
過(guò)C作CM⊥BC₁，則CM⊥平面BC₁D，
∴∠BCC₁是BC與平面BC₁D所成角．
∵AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCC₁=$\sqrt{3}$，
∴∠BCC₁=60°

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．