Question

已知變數(shù)x，y滿足約束條件

x-3y+4≥0 x+2y-1≥0 3x+y-8≤0

，目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a≥0）僅在點(diǎn)（2，2）處取得最大值，則a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，確定目標(biāo)取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，
當(dāng)a=0時(shí)，z=x，即x=z，此時(shí)不成立．
由z=x+ay得y=-

1

a

x+

z

a

，
要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a≥0）僅在點(diǎn)（2，2）處取得最大值，
則陰影部分區(qū)域在直線y=-

1

a

x+

z

a

的下方，
即目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-

1

a

，滿足k＞k_AC，
即-

1

a

＞-3，
∵a＞0，
∴a＞

1

3

，
即a的取值范圍為(

1

3

，+∞)，
故答案為：(

1

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標(biāo)函數(shù)z=x+y僅在點(diǎn)P（2，2）處取得最大值，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．