Question

設函數(shù)f（x）=5

3

sinxcosx+6cos²x+sin²x+

3

2

．
（Ⅰ）當x∈[

π

6

，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）在銳角△ABC中，sinC=

3

5

，f（A）=

15

2

，AB=2

3

，求AB邊上的高．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運用二倍角公式的變形和兩角和的正弦公式化簡整理，得到f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5，根據(jù)x的范圍，求出2x+

π

6

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得f（x）的值域；
（Ⅱ）根據(jù)條件先求出角A，注意銳角三角形，運用兩角和的正弦求出sinB，運用正弦定理求出AC，由解直角三角形求出AB邊上的高．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=5

3

sinxcosx+6cos2x+sin2x+

3

2

=5

3

sinxcosx+5cos2x+

5

2

=

5

2

3

sin2x+5•

1+cos2x

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5，
由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴

π

6

≤x≤

π

2

時，函數(shù)f（x）的值域為[

5

2

，10]；
（Ⅱ）∵sinC=

3

5

，f（A）=

15

2

，
∴f（A）=5sin（2A+

π

6

）+5=

15

2

，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵△ABC為銳角△ABC，∴A=

π

3

，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

4

5

+

1

2

×

3

5

=

4 3 +3

10

，
又AB=2

3

∴由正弦定理得，

2 3

3 5

=

AC

4 3 +3 10

，即AC=4+

3

，
設AB邊上的高為CD，
∴CD=AC•sin60°=

4 3 +3

2

．

點評：本題主要考查三角恒等變換及正弦定理的運用，考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和兩角和的正弦公式，熟記這些公式是解題的關鍵．