Question

15．求經(jīng)過點A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出其焦點、漸近線和離心率．

Answer 1

分析 設(shè)經(jīng)過點A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）的雙曲線的方程為mx²+ny²=1，mn＜0，利用待定系數(shù)法能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)、漸近線方程和離心率．

解答 解：設(shè)經(jīng)過點A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）的雙曲線的方程為mx²+ny²=1，mn＜0，
把A（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）、B（3，-2$\sqrt{2}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{4m+\frac{4}{3}n=1}\\{9m+8n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{3}$，n=-$\frac{1}{4}$，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
∴$a=\sqrt{3}$，b=2，c=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
∴焦點坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{7}$，0）、F₂（$\sqrt{7}$，1），
漸近線方程為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點、漸近線和離心率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意雙曲線的性質(zhì)和待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．