Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和橢圓C₂：

x2

2

+y2=1，離心率相同，且點(diǎn)（

2

，1）在橢圓C₁上．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為橢圓C₂上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓C₁于A、C兩點(diǎn)，且P恰為弦AC的中點(diǎn)．求證：無(wú)論點(diǎn)P怎樣變化，△AOC的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用離心率相同，且點(diǎn)（

2

，1）在橢圓C₁上，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）分類討論，AC：y-y₀=k（x-x₀）與橢圓C₁聯(lián)立，再表示出△AOC的面積，代入化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題知，

2

a2

+

1

b2

=1且

c

a

=

2

2

即a²=4，b²=2，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線AC的斜率不存在時(shí)，必有P(±

2

，0)，此時(shí)|AC|=2，S△AOC=

2

…（5分）
當(dāng)直線AC的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k、點(diǎn)P（x₀，y₀），則AC：y-y₀=k（x-x₀）
與橢圓C₁聯(lián)立，得(1+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(y0-kx0)2-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x0=

x1+x2

2

=-

2k(y0-kx0)

1+2k2

，即x₀=-2ky₀…（8分）
又x02+2y02=2，∴y02=

1

1+2k2

…（9分）
S△AOC=

1

2

×

|y0-kx0|

1+k2

×

1+k2

•

16k2(y0-kx0)2-4(1+2k2)[2(y0-kx0)2-4]

1+2k2

=

2

|y0-kx0| 2(1+2k2)-(y0-kx0)2

1+2k2

=

2

(1+2k2)|y0| 2(1+2k2)-(1+2k2)2y02

1+2k2

=

2

|y0|

1+2k2

=

2

綜上，無(wú)論P(yáng)怎樣變化，△AOC的面積為常數(shù)

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，確定△AOC的面積，正確代入計(jì)算是難點(diǎn)．