Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+bx，g（x）=alnx+x（a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）存在極值點(diǎn)，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)b=0且a＞0時，令F(x)=

f(x)，x＜1 g(x)-x，x≥1

，P（x₁，F(xiàn)（x₁）），Q（x₂，F(xiàn)（x₂））為曲線y=F（x）上的兩動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，能否使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）和（2）通過求導(dǎo)直接得出，（3）假設(shè)使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上，得出方程討論解答即可．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2x+b，若f（x）存在極值點(diǎn)，
則f'（x）=-3x²+2x+b=0有兩個不相等實數(shù)根．所以△=4+12b＞0，
解得b＞-

1

3

（Ⅱ） g′(x)=

a

x

+1=

a+x

x

當(dāng)a＞0時，-a＜0，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；           
當(dāng)a＜0時，-a＞0，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，-a），單調(diào)遞增區(qū)間為（-a，+∞）．
（Ⅲ） 當(dāng)b=0且a＞0時，F(x)=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

，
假設(shè)使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．
則

OP

•

OQ

=0且x₁+x₂=0．      
不妨設(shè)x₁=t＞0．故P（t，F(xiàn)（t）），則Q（-t，t³+t²）．

OP

•

OQ

=-t2+F(t)(t3+t2)=0，（*）該方程有解          
當(dāng)0＜t＜1時，F(xiàn)（t）=-t³+t²，代入方程（*）
得-t²+（-t³+t²）（t³+t²）=0
即t⁴-t²+1=0，而此方程無實數(shù)解；              
當(dāng)t=1時，

OP

=(1，0)，

OQ

=(-1，2)則

OP

•

OQ

≠0；                    
當(dāng)t＞1時，F(xiàn)（t）=alnt，代入方程（*）得-t²+alnt（t³+t²）=0
即

1

a

=(t+1)lnt，
設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），
則h′(x)=lnx+

1

x

+1＞0在[1，+∞）上恒成立．
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
從而h（x）≥h（1）=0，則值域為[0，+∞）．
∴當(dāng)a＞0時，方程

1

a

=(t+1)lnt有解，即方程（*）有解．               
綜上所述，對任意給定的正實數(shù)a，曲線上總存在P，Q兩點(diǎn)，
使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊中點(diǎn)在y軸上．

點(diǎn)評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，向量運(yùn)算，分類討論思想，有一定的難度．