Question

已知a∈R，設(shè)函數(shù)g（x）=lg²x-2algx+4，x∈[

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，+∞） 的最小值為h（a）
（Ⅰ）求h（a）的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)h（a）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求h（a）的表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)條件建立方程組，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)t=lgx，則t≥-1，
∴函數(shù)g（x）等價(jià)為y=t²-2at+4=（t-a）²+4-a²，t∈[-1，+∞） 
當(dāng)a≤-1時(shí)，h（a）═（-1-a）²+4-a²=5+2a；
當(dāng)a＞-1時(shí)，h（a）=+4-a²，
綜上得h（a）=

5+2a，a≤-1 4-a2，a＞-1

；
（Ⅱ）顯然，h（a）≤4，則2n≤4，即n≤2，m＜n，m＜2，
當(dāng)n≤-1，函數(shù)在此區(qū)間遞增，則

5+2m=2m 5+2n=2n

，顯然不符；
（2）當(dāng)-1＜n≤0
①當(dāng)m≤-1函數(shù)在此區(qū)間遞增，則5+2m=2m，不成立，
②當(dāng)-1＜m＜0，則

4-m2=2m 4-n2=2n

，即m+n=-2，顯然不符；
（3）當(dāng)0＜n≤2，
（�。┊�(dāng)m≤-1，則5+2m=2m，顯然不符；
（ⅱ）當(dāng)-1＜m＜0，函數(shù)在此區(qū)間遞增，則

4-m2=2m 4=2n

，解得

m=-1± 5 n=2

，顯然不符；
（ⅲ）當(dāng)0≤m＜2，函數(shù)在此區(qū)間遞減，則

4-m2=2n 4-n2=2m

，即

m=0 n=2

，符合題意．
綜上，存在符合題意的m，n，且m=0，n=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法和分類討論是解決本題的關(guān)鍵．